Le nombre d'or

Le nombre d'or, habituellement désigné par la lettre φ (phi) de l'alphabet grec en l'honneur de Phidias, sculpteur et architecte grec du Parthénon, est le nombre irrationnel :

 

Dans un pentagramme inscrit dans un pentagone, les segments sont de trois types, correspondant à trois longueurs différentes : l'arête du pentagone extérieur a, celle du pentagone intérieur c, et celle du bras de l'étoile b. En outre, on peut identifier deux types de triangles isocèles élémentaires: des triangles de type aplatis, formés d'une base a et de deux côtés b; et des triangles de type pointus, formés d'une base c et de deux côtés b.

                                                         
On appelle rectangle d'or un rectangle dont le rapport entre la longueur et la largeur vaut le nombre d'orLe tracé d'un rectangle d'or se fait très simplement à l'aide d'un compas ; il suffit de pointer le milieu d'un côté d'un carré, de pointer l'un des deux angles opposés, puis de rabattre l'arc de cercle sur la droite passant par le côté du carré pointé

Voici une raison possible de l'attrait suscité par le rectangle d'or : considérons un rectangle dont les côtés de longueurs a et b sont dans un rapport du nombre d'or :

Si de ce rectangle, nous supprimons le carré de côté de longueur b, alors le rectangle restant est à nouveau un rectangle d'or, puisque ses côtés sont dans un rapport φ. En effet, d'après les propriétés algébriques,

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En itérant cette construction, nous obtenons une suite de rectangles d'or de plus en plus petits. Ce fait est une interprétation géométrique du développement en fraction continue du nombre d'or