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24 novembre 2006 5 24 /11 /novembre /2006 14:51
Archimède est né vers 287 av J-C à Syracuse, terre qui est alors objet des convoitises des armées de Rome et de Carthage. On sait assez peu de choses sur sa vie, seuls quelques épisodes sont racontés par Plutarque, écrivain grec très postérieur au scientifique. Tout juste sait-on qu'il est le fils d'un astronome, Phydius, qu'il est ami du roi Hiéron, tyran de Syracuse. On pense aussi qu'il étudia quelques années en Egypte, à Alexandrie, auprès des successeurs d'Euclide.

 

  Avant tout, Archimède excelle en géométrie, où il invente des méthodes d'avant-garde. Il calcule notamment la longueur du cercle en l'approchant par des polygones réguliers inscrits et exinscrits. En utilisant des polygones réguliers à 96 côtés, il montre notamment sa célèbre formule d'approximation de pi :
Ceci préfigure, près de 2000 ans auparavant, le calcul intégral inventé par Newton et Leibniz. Archimède applique cette méthode d'exhaustion à divers calculs de volume, et prouve par exemple que le volume de la sphère vaut les 2/3 du volume du cylindre circonscrit. Il juge cette découverte si importante qu'il demande à ce qu'elle soit gravée sur sa tombe. Il étudie aussi le déplacement uniforme d'un point sur une droite elle-même en rotation uniforme autour d'un point. La courbe résultante, d'équation polaire r=at, s'appelle désormais spirale d'Archimède.

 

  Mais Archimède est surtout connu pour ses travaux en statique et en hydrostatique. Il est l'auteur du célèbre principe : "Tout corps plongé dans un liquide subit, de la part de celui-ci, une poussée exercée du bas vers le haut et égale, en intensité, au poids du liquide déplacé". La légende raconte qu'il aurait fait cette découverte en réponse à une question du roi de Syracuse, qui se demandait si sa couronne était en or massif. Réfléchissant à ce problème dans son bain, Archimède aurait eu l'idée lumineuse de son principe. Très excité, il serait sorti nu dans la rue en criant "Eurêka!" (j'ai trouvé).

 

  Une autre phrase célèbre d'Archimède est le fameux "Donnez-moi un point d'appui, et je soulèverai le monde". Elle illustre le principe du levier, et ses travaux sur les moments de force. Par ailleurs, Archimède est l'auteur d'un traité sur les centres de gravité.

 

  Brillant théoricien, Archimède est aussi un ingénieur qui invente la vis sans fin, ou des machines pour la défense de Syracuse comme la catapulte. Grâce aux créations d'Archimède, Syracuse résistera pendant 3 ans aux Romains lors de la Seconde Guerre Punique. Mais la ville finit par être prise, et Archimède décède lors de l'invasion. La fin de sa vie est décrite ainsi par Plutarque :

 

Comme le destin le voulait, Archimède était en train de résoudre un problème par un diagramme, et avait les yeux et l'esprit fixés sur l'objet de sa réflexion; il ne remarqua pas l'entrée des Romains, ni le fait que la ville ait été prise. Inopinément, un soldat survint et lui demanda de l'accompagner. Comme il refusait d'obtempérer tant que son problème n'était pas résolu, le soldat fou de rage brandit son sabre et le transperça...
  Le général Marcellus qui dirigeait l'armée romaine, et qui avait en haute estime le savant, ne désirait pas la mort d'Archimède et fut navré d'apprendre son décès. Il fit organiser des funérailles grandioses, et sur le tombeau du savant, il fit graver... une sphère et son cylindre circonscrit.

 

 Archimède a inventé, vers 250 avant J-C, une méthode originale pour le calcul de la longueur d'un cercle. Il encadre en effet cette valeur par le périmètre d'un polygone régulier inscrit dans ce cercle, et par le périmètre d'un polygone régulier exinscrit :

Cette méthode préfigure le calcul intégral de Newton et Leibniz, près de 2000 ans avant son invention effective. En utilisant un polygone à 96 côtés, Archimède parvient à l'excellent approximation :

La spirale d'Archimède est la courbe décrite par un point en déplacement uniforme sur une droite en rotation elle-même uniforme autour d'un point. Son équation polaire est r=at.
  Elle a été introduite par Archimède pour réussir la quadrature du cercle, c'est-à-dire la construction d'un segment dont la longueur est égale à la circonférence du cercle. Prenons en effet le point sur la courbe de coordonnée polaire t=3pi/2 (le point A du dessin précédent). Traçons la tangente à la spirale en ce point, et notons H le point d'intersection avec l'axe des abscisses. Alors Archimède démontre que la longueur AH vaut exactement la circonférence du cercle OA. Cependant, cela ne fait que déplacer le problème : comment construire la tangente à une courbe? Il faudra attendre au moins le XVIIè siècle, et Newton et Leibniz, pour que l'on sache bien aborder cette question!

 

  La quadrature du cercle, c'est-à-dire l'approximation de pi, était une question qui taraudait Archimède. On lui doit notamment l'approximation de pi par la fraction 22/7

 

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